Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm m để phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) =

Câu hỏi số 587623:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm m để phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) = \left( {5 - {e^x}} \right)m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\).

A. \(m \in \left( {\dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}};\dfrac{1}{4}} \right)\).

B. \(m \in \left( {\dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}};0} \right)\).

C. \(m \le \dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}}\).

D. \(m \ge \dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587623

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow t \in \left( {1;e} \right)\).

- Chứng minh hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{{f\left( t \right)}}{{5 - t}},\,\,t \in \left( {1;e} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;e} \right)\)

- Tìm ra khoảng giá trị của m.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow t \in \left( {1;e} \right)\).

Phương trình đã cho trở thành \(f\left( t \right) = \left( {5 - t} \right)m \Leftrightarrow m = \dfrac{{f\left( t \right)}}{{5 - t}}\)

Xét \(g\left( t \right) = \dfrac{{f\left( t \right)}}{{5 - t}},\,\,t \in \left( {1;e} \right)\)

\(g'\left( t \right) = \dfrac{{f'\left( t \right)\left( {5 - t} \right) + f\left( t \right)}}{{{{\left( {5 - t} \right)}^2}}}\)

Với \(\forall t \in \left( {1;e} \right),\,\,\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) < 0\\5 - t > 0\\f\left( t \right) > 0\end{array} \right.\). Do đó \(f'\left( t \right)\left( {5 - t} \right) + f\left( t \right) < 0 \Rightarrow g'\left( t \right) < 0\)

Khi đó hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;e} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \dfrac{{f\left( t \right)}}{{5 - t}} = \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{4} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{t \to e} \dfrac{{f\left( t \right)}}{{5 - t}} = \dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}} < 0\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( {\dfrac{{f\left( e \right)}}{{5 - e}};0} \right)\) thì phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.