Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {2x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {2x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 8y.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Giải bất phương trình biểu diễn x theo y.
Đưa biểu thức S về dạng \(S \ge f\left( y \right)\).
Lập BBT hàm số f(y).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\ln x + \ln y \ge \ln \left( {2x + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \ln \left( {xy} \right) \ge \ln \left( {2x + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow xy \ge 2x + {y^2}\\ \Leftrightarrow x\left( {y - 2} \right) \ge {y^2}\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Vì \({y^2} > 0\,\,\forall y > 0\) nên \(x\left( {y - 2} \right) \ge 0\).
Mà x > 0 (gt) nên \(y - 2 > 0 \Leftrightarrow y > 2\).
Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{y^2}}}{{y - 2}}\,\) với y > 2.
Suy ra \(S = x + 8y \ge \dfrac{{{y^2}}}{{y - 2}} + 8y\) với y > 2.
Ta có:
\(\begin{array}{l}S' = \dfrac{{2y\left( {y - 2} \right) - {y^2}}}{{{{\left( {y - 2} \right)}^2}}} + 8\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{y^2} - 4y + 8{y^2} - 32y + 32}}{{{{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{9{y^2} - 36y + 32}}{{{{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\S' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{8}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Vậy \(S \ge 32\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
