Hàm số y=ax2 (a ≠ 0), Phương trình bậc hai một ẩn

Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$

Câu 59195: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$

A. Min A = 1

B. M in A = 3

C. Min A = 5

D. Min A = 6

Câu hỏi : 59195

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:

x + y ≥ $2\sqrt{xy}$ => 1 ≥ $2\sqrt{xy}$ => 1 ≥ 4xy => $\frac{1}{2xy}$   ≥ 2 (1)

Đẳng thức xảy ra khi x = y.

Tương tự với a, b dương ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ ≥ $2\sqrt{\frac{1}{ab}}$   ≥ 2. $\frac{2}{a+b}=\frac{4}{a+b}$ (*)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}$   ≥ $\frac{4}{(x+y)^{2}}=4$ (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=2xy$ <=> x = y

Từ (1) và (2) suy ra: A ≥ 6 . Dấu "=" xảy ra <=> x = y = $\frac{1}{2}$ .

Vậy minA = 6.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.