Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{3x + \sqrt {9{x^2} - 1} }}dx} = a + b\sqrt 2 + c\sqrt {35} \) với a,

Câu hỏi số 595231:

Vận dụng cao

Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{3x + \sqrt {9{x^2} - 1} }}dx} = a + b\sqrt 2 + c\sqrt {35} \) với a, b, c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b +c – 7.

A. \( - \dfrac{1}{9}.\)

B. \(\dfrac{{86}}{{27}}.\)

C. -2.

D. \(\dfrac{{67}}{{27}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595231

Phương pháp giải

Nhân liên hợp.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{3x + \sqrt {9{x^2} - 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 1} } \right)}}{{9{x^2} - \left( {9{x^2} - 1} \right)}}dx} \\ = \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} - x\sqrt {9{x^2} - 1} } \right)dx} = \int\limits_1^2 {3{x^2}dx} - \int\limits_1^2 {x\sqrt {9{x^2} - 1} dx} \end{array}\)

\(A = \int\limits_1^2 {3{x^2}dx} = \left. {{x^3}} \right|_1^2 = 8 - 1 = 7.\)

\(B = \int\limits_1^2 {x\sqrt {9{x^2} - 1} dx} \)

Đặt \(\sqrt {9{x^2} - 1} = t \Rightarrow 9{x^2} - 1 = {t^2}\)

Vi phân: 18xdx = 2tdt => 9xdx = tdt.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\sqrt 2 \\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt {35} \end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } {\dfrac{1}{9}tdt.t} = \int\limits_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } {\dfrac{1}{9}{t^2}dt} = \left. {\dfrac{1}{{27}}{t^3}} \right|_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } = \dfrac{{35}}{{27}}\sqrt {35} - \dfrac{{16}}{{27}}\sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{x}{{3x + \sqrt {9{x^2} - 1} }}dx = } 7 - \dfrac{{35}}{{27}}\sqrt {35} + \dfrac{{16}}{{27}}\sqrt 2 \\ \Rightarrow a = 7,\,\,b = \dfrac{{16}}{{27}},\,\,c = - \dfrac{{35}}{{27}}\\ \Rightarrow P = a + 2b + c--7 = 7 + 2.\dfrac{{16}}{{27}} - \dfrac{{35}}{{27}} - 7 = - \dfrac{1}{9}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.