\(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}dx} \).

Câu hỏi số 596909:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596909

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{{x - 4}}{{{x^2} - 4}}} \right)dx} \\\,\,\, = \int\limits_0^1 {dx} - \int\limits_0^1 {\dfrac{{x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} = 1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \end{array}\)

\( + )\,\,A = \int\limits_0^1 {\dfrac{{x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{A}{{x - 2}} + \dfrac{B}{{x + 2}}} \right)dx} \).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\2A - 2B = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - \dfrac{1}{2}\\B = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \int\limits_0^1 {\left[ {\dfrac{3}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \dfrac{1}{{2\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( {\ln \left| {\dfrac{3}{{2\left( {x + 2} \right)}}} \right| - \ln \left| {\dfrac{1}{{2\left( {x - 2} \right)}}} \right|} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln \dfrac{1}{2} - \ln \dfrac{1}{2} - \left( {\ln \dfrac{3}{4} - \ln \dfrac{1}{4}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \ln 3.\end{array}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.