Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}\)

Câu hỏi số 597019:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}\) (*)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597019

Phương pháp giải

Đánh giá từng vế của phương trình, xác định dấu “=” xảy ra khi nào, từ đó tìm được nghiệm x.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\)

VT (*)\( = \)\(\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \)

Vì \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 4 \ge 4,\forall x \Rightarrow \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} \ge 2,\forall x\)

\(5{\left( {x + 1} \right)^2} + 9 \ge 9,\forall x \Rightarrow \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \ge 3,\forall x\)

Suy ra VT (*) \( \ge 5\).

VP (*) \( = 4 - 2x - {x^2} = - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 5 = - {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\)

Vì \( - {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \le 5,\forall x\). Suy ra VP (*) \( \le 5\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link