Cho đường tròn \((O)\) bán kính R, đường thẳng d không qua tâm O và cắt đường tròn tại hai

Câu hỏi số 597018:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O)\) bán kính R, đường thẳng d không qua tâm O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d (A nằm giữa B và C) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường trong (M, N là hai tiếp điểm, M và O nằm cùng phía đối với AB), MN cắt OC tại H.

a) Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(C{M^2} = CA.CB\)

c) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN, cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597018

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) \(\Delta CMA \sim \Delta CBM\;(g.g)\)\( \Rightarrow C{M^2} = CA.CB\)

c) Tính diện tích tam giác CEF

Vận dụng Bất đẳng thức Cô – si, tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác CMON ta có:

\(\angle CMO = \angle CNO = {90^0}\) (do CM, CN là tiếp tuyến của (O))

\( \Rightarrow \angle CMO + \angle CNO = {180^0}\) , mà 2 góc này là hai góc đối diện của tứ giác CMON.

Vậy CMON là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh \(C{M^2} = CA.CB\)

Xét \(\Delta CMA\) và \(\Delta CBM\)ta có:

\(\angle BCM\) chung;

\(\angle CMA = \angle CBM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM).

\( \Rightarrow \Delta CMA \sim \Delta CBM\;(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CA}} = \dfrac{{CB}}{{CM}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow C{M^2} = CA.CB\) (đpcm).

c) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN, cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.

Ta có:

CM = CN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) C thuộc trung trực của MN.

\(OM = ON\,\,\left( { = R} \right)\) \( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của MN.

\( \Rightarrow OC\)là trung trực của MN, do dó \(OC \bot MN\).

Mà \(MN//EF\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) \(OC \bot EF\) (từ vuông góc đến song song).

Xét \(\Delta CEF\) có \(CO \bot EF\), CO là phân giác của \(\angle MCN\) \( \Rightarrow CO\) là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta CEF\) cân tại C (tam giác có đường cao đồng thời là phân giác).

\( \Rightarrow \) CO là đườn cao đồng thời là trung tuyến \( \Rightarrow O\) là trung điểm của EF.

Khi đó ta có: Diện tích \(\Delta CEF\) là: \(S = \dfrac{1}{2}OC.EF = OC.OE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COE, đường cao OM ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{R^2}}} \ge \dfrac{2}{{OE.OC}}\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right) \Leftrightarrow OE.OC \ge 2{R^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow S = OC.OE \ge 2{R^2}\)

Vậy min\({S_{CEF}} = 2{R^2}\), dấu “=” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\\OE = OC\end{array} \right. \Leftrightarrow OC = OE = R\sqrt 2 \)

Do đó C thuộc d sao cho \(OC = R\sqrt 2 \) thì diện tích \(\Delta CEF\) nhỏ nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link