Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh + + ≤ Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 59908:

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh

$\frac{a}{3a + b + c}$ + $\frac{b}{3b + a + c}$ + $\frac{c}{3c + b + a}$ ≤ $\frac{3}{5}$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:59908

Giải chi tiết

Đặt x = 3a + b + c; y = a + 3b + c; z = a + b + 3c

=> x + y + z = 5(a + b + c) = 5(x - 2a) = 5(y - 2b) = 5(z - 2c)

=> a = $\frac{4x - y - z}{10}$ ; b = $\frac{4y - x - z}{10}$ ; c = $\frac{4z - y - x}{10}$

=> $\frac{a}{3a + b + c}$ + $\frac{b}{3b + a + c}$ + $\frac{c}{3c + b + a}$

= $\frac{4x - y - z}{10x}$ + $\frac{4y - x - z}{10y}$ + $\frac{4z - y - x}{10z}$

= $\frac{6}{5}$ - $\frac{1}{10}\left ( \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z}\right )$

Do a, b, c là các số dương nên ta có

$\left ( \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z}\right )$ ≥ 6 và kết luận được

$\frac{a}{3a + b + c}$ + $\frac{b}{3b + a + c}$ + $\frac{c}{3c + b + a}$ ≤ $\frac{3}{5}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link