Với n là một số tự nhiên tùy ý. đặt M = (n2 + 2n + 5)3 – (n – 1)2 + 2012. Chứng minh M chia hết

Câu hỏi số 59924:

Với n là một số tự nhiên tùy ý. đặt M = (n² + 2n + 5)³ – (n – 1)² + 2012. Chứng minh M chia hết cho 6

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:59924

Giải chi tiết

M = (n² + 2n + 5)³ – (n – 1)² + 2012 = (n² + 2n + 5) + 2016

Dễ thấy 2016 chia hết cho (1)

Ta sẽ chứng minh (a³ – a) = a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6 với mọi a ∈ Z

Thật vậy có (a³ – a) = a(a - 1)(a + 1)

Xét phép chia a cho 6 có a = 6m + r với 0 < r ≤ 5

- Nếu r = 0 khi đó a = 6m + r => (a³ – a) $\vdots$ 6

- Nếu r = 1. khi đó a(a - 1)(a + 1) = 6m(6m + 1)(6m + 2) => (a³ – a) $\vdots$ 6

- Nếu r = 2, khi đó a(a - 1)(a + 1) = (6m + 3)(6m + 1)(6m + 2)

= 6(6m + 1)(3m + 1)(2m + 1)=> (a³ – a) $\vdots$ 6

- Nếu r = 3, khi đó a(a - 1)(a + 1) = (6m + 3)(6m + 4)(6m + 2)

= 6(6m + 4)(3m + 1)(2m + 1)=> (a³ – a) $\vdots$ 6

- Nếu r = 4, khi đó a(a - 1)(a + 1) = (6m + 3)(6m + 4)(6m + 5) => (a³ – a) $\vdots$ 6

- Nếu r = 5, khi đó a(a - 1)(a + 1) = (6m + 5)(6m + 4)(6m + 6) => (a³ – a) $\vdots$ 6

Do đó ta luôn có (a³ – a) = a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6 với mọi a ∈ Z

Áp dụng ta có

(n² + 2n + 5)³ - (n²+ 2n + 5) $\vdots$ 6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra M $\vdots$ 6

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link