Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh: + + ≥

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 60190:

Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$\frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)}$ + $\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)}$ + $\frac{c^3}{(1 + b)(1 + a)}$ ≥ $\frac{3}{4}$

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:60190

Giải chi tiết

Gọi vế trái của bất đẳng thức là P

Áp dụng bất đẳng thức co - si cho 3 số dương ta có

$\frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)}$ + $\frac{1 + b}{8}$ + $\frac{1 + c}{8}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{a^3(1+b)(1 + c)}{64(1 + b)(1 + c)}}$ = $\frac{3}{4}$ a (1)

Tương tự ta có:

$\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)}$ + $\frac{1 + c}{8}$ + $\frac{1 + a}{8}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{b^3(1+c)(1 + a)}{64(1 + a)(1 + c)}}$ = $\frac{3}{4}$ b (2)

$\frac{c^3}{(1 + b)(1 + a)}$ + $\frac{1 + b}{8}$ + $\frac{1 + a}{8}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{b^3(1+b)(1 + a)}{64(1 + a)(1 + b)}}$ = $\frac{3}{4}$ c (3)

Lấy (1) + (2) + (3) theo từng vế rồi áp dụng tiếp bất đẳng thức co - si ta được

P + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{1}{2}$ (a + b + c) ≥ $\frac{1}{2}$ . 3 $\sqrt[3]{abc}$ = $\frac{3}{2}$

=> P ≥ $\frac{3}{4}$ , "=" khi và chỉ khi a = b = c = 1

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link