Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Biết đẳng thức

Câu hỏi số 602387:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Biết đẳng thức \(2f\left( x \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) được thỏa mãn \(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\). Tính giá trị f(0).

A. \(3 - \sqrt 3 \).

B. \(2 - \sqrt 3 \).

C. \( - \sqrt 3 \).

D. Chưa đủ dữ kiện tính f(0).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602387

Giải chi tiết

Xét phương trình \(2f\left( x \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) + \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)f\left( x \right)} \right]' = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \int {\left[ {\left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)f\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} + C\end{array}\)

Thay x = 1 \( \Rightarrow 0 = \sqrt 4 + C \Leftrightarrow C = - 2.\)

\( \Rightarrow \left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} - 2\).

Thay x = 0 \( \Rightarrow - f\left( 0 \right) = \sqrt 3 - 2 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 2 - \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.