Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}\) với n

Câu hỏi số 609419:

Vận dụng cao

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2\).

A. 210.

B. 840.

C. 480.

D. 270.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609419

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2 \Leftrightarrow n = 10.\)

Khai triển: \({\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^{10}} = {\left[ {1 - \left( {x + 3{x^3}} \right)} \right]^{10}}\)

Số hạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_{10}^k{.1^{10 - k}}.{\left[ { - \left( {x + 3{x^3}} \right)} \right]^k}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {x + 3{x^3}} \right)^k}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.C_k^p.{x^{k - p}}{\left( {3{x^3}} \right)^p}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.C_k^p.{x^{k - p}}{3^p}{x^{3p}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{10}^k.C_k^p.{\left( { - 1} \right)^k}{.3^p}.{x^{k + 2p}}\end{array}\)

\({x^{k + 2p}} = {x^4} \Leftrightarrow k + 2p = 4\,\,\left( {k,p \in \mathbb{N},\,\,k \ge p} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 2 \Rightarrow p = 1 \Rightarrow C_{10}^2.C_2^1.{\left( { - 1} \right)^2}{.3^1}\\k = 4 \Rightarrow p = 0 \Rightarrow C_{10}^4.C_4^0.{\left( { - 1} \right)^4}{.3^0}\end{array} \right.\).

Vậy hệ số \({x^4}\) là: \(C_{10}^2.C_2^1.{\left( { - 1} \right)^2}{.3^1} + C_{10}^4.C_4^0.{\left( { - 1} \right)^4}{.3^0} = 480.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.