Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển \(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right) + 2{\left( {1 + x}

Câu hỏi số 609418:

Vận dụng

Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right) + 2{\left( {1 + x} \right)^2} + ... + 8{\left( {1 + x} \right)^8}$.

A. 630.

B. 635.

C. 636.

D. 637.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609418

Phương pháp giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton: $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k$.

Hệ số của số hạng chứa $x^m$ trong khai triển $(1 + x)^n$ là $C_n^m$ (với $n \ge m$).

Do đó, hệ số của $x^5$ trong khai triển $k(1 + x)^k$ là $k \cdot C_k^5$ với $k \ge 5$.

Hệ số của $x^5$ trong đa thức $P(x)$ là tổng hệ số của $x^5$ trong các số hạng thành phần có bậc của nhị thức lớn hơn hoặc bằng 5.

Giải chi tiết

Ta có $P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)^2 + \dots + 8(1 + x)^8$.

Hệ số của $x^5$ chỉ xuất hiện ở các số hạng $k(1 + x)^k$ với $k \in \{5, 6, 7, 8\}$.

Hệ số của $x^5$ trong $5(1 + x)^5$ là: $5 \cdot C_5^5 = 5 \cdot 1 = 5$.

Hệ số của $x^5$ trong $6(1 + x)^6$ là: $6 \cdot C_6^5 = 6 \cdot 6 = 36$.

Hệ số của $x^5$ trong $7(1 + x)^7$ là: $7 \cdot C_7^5 = 7 \cdot 21 = 147$.

Hệ số của $x^5$ trong $8(1 + x)^8$ là: $8 \cdot C_8^5 = 8 \cdot 56 = 448$.

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển $P(x)$ là: $5 + 36 + 147 + 448 = 636$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.