Cho \(\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}}\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 610854:

Vận dụng cao

Cho \(\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}}\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}}\)

(Với \(abc \ne 0\)và các mẫu đều khác 0).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610854

Phương pháp giải

Dùng biến đổi đại số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}} = \dfrac{{2y}}{{4a + 2b - 2c}} = \dfrac{{x + 2y + z}}{{a + 2b + c + 4a - 4b + c + 4a + 2b - 2c}} = \dfrac{{x + 2y + z}}{{9a}}\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}} = \dfrac{{2x}}{{2a + 4b + 2c}} = \dfrac{{2x + y - z}}{{2a + 4b + 2c + 2a + b - c - \left( {4a - 4b + c} \right)}} = \dfrac{{2x + y - z}}{{9b}}\left( 2 \right)\\\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}} = \dfrac{{4x}}{{4a + 8b + 4c}} = \dfrac{{4y}}{{8a + 4b - 4c}}\\ = \dfrac{{4x - 4y + z}}{{4a + 8b + 4c - \left( {8a + 4b - 4c} \right) + 4a - 4b + c}} = \dfrac{{4x - 4y + z}}{{9c}}\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\)suy ra \(\dfrac{{x + 2y + z}}{{9a}} = \dfrac{{2x + y - z}}{{9b}} = \dfrac{{4x - 4y + z}}{{9c}}\)

Suy ra \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}}\)( điều phải chứng minh)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link