Để phương trình \(\dfrac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\tan \left( {x

Câu hỏi số 611316:

Vận dụng cao

Để phương trình \(\dfrac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}} = m\) có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. \( - 1 \le m \le - \dfrac{1}{4}\).

B. \( - 2 \le m \le - 1\).

C. \(1 \le m < 2\).

D. \(\dfrac{1}{4} \le m < 1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611316

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} = \dfrac{{\sin x\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{4}}}{{\cos x\sin \dfrac{\pi }{4} - \sin x\cos \dfrac{\pi }{4}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)}}\\\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}} = \dfrac{{\sin x\cos \dfrac{\pi }{4} - \cos x\sin \dfrac{\pi }{4}}}{{\cos x\sin \dfrac{\pi }{4} + \sin x\cos \dfrac{\pi }{4}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x + \sin x} \right)}}\\ \Rightarrow \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}} = m\\ \Leftrightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = - m\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} = - m\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) = - m\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x = - m\\ \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = - m\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = - m\end{array}\)

Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \ge - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge - \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 \ge - m \ge \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow - 1 \le m \le - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Mà \(t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow - 1 < m < 0.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.