Cho \(P = \dfrac{{4{x^{4044}} + 9{x^{2022}} + 6}}{{{x^{2022}} + 2}}\). Tìm giá trị của x để biểu thức P

Câu hỏi số 612084:

Vận dụng cao

Cho \(P = \dfrac{{4{x^{4044}} + 9{x^{2022}} + 6}}{{{x^{2022}} + 2}}\). Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612084

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^{2022}}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) đưa \(P = \left( {t + 2} \right) + \dfrac{4}{{\left( {t + 2} \right)}} + 3\left( {t + 2} \right) - 7\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^{2022}}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{4{t^2} + 9t + 6}}{{t + 2}}\\P = \dfrac{{4\left( {{t^2} + 4t + 4} \right) - 7\left( {t + 2} \right) + 4}}{{t + 2}}\\P = \dfrac{{4{{\left( {t + 2} \right)}^2} - 7\left( {t + 2} \right) + 4}}{{t + 2}}\\P = 4\left( {t + 2} \right) + \dfrac{4}{{\left( {t + 2} \right)}} - 7\\P = \left( {t + 2} \right) + \dfrac{4}{{\left( {t + 2} \right)}} + 3\left( {t + 2} \right) - 7\end{array}\)

Do \(t \ge 0 \Rightarrow t + 2 > 0\), áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\left( {t + 2} \right) + \dfrac{4}{{\left( {t + 2} \right)}} \ge 2\sqrt {\left( {t + 2} \right).\dfrac{4}{{\left( {t + 2} \right)}}} = 4\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right) = \dfrac{4}{{t + 2}} \Leftrightarrow {\left( {t + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 2 = 2\\t + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(P \ge 4 + 3\left( {0 + 2} \right) - 7 = 3\).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi \(t = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link