Cho nửa đường tròn đường kính AD. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn (B khác A và D), trên

Câu hỏi số 612083:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn đường kính AD. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn (B khác A và D), trên cung BD lấy điểm C (C khác B và D). Hai dây AC và BD cắt nhau tại điểm E. Kẻ đoạn thẳng EF vuông góc với AD (F thuộc AD).

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AE.AC = AF.AD.

c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BFC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612083

Phương pháp giải

a) Xét tứ giác ABEF có tổng 2 góc đối bằng 180

b) Chứng minh \(\Delta AFE \sim \Delta ACD\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Ta chứng minh FE là phân giác của \(\angle BFC\) và CE là phân giác của \(\angle BCF\)

Giải chi tiết

a) B thuộc đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow \angle ABE = {90^0}\)

\(EF \bot AD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AFE = {90^0}\)

Xét tứ giác ABEF có: \(\angle ABE + \angle AFE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow ABEF\)là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) C thuộc đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle CAD\,\,\,chung\\\angle AFE = \angle ACD = {90^0}\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta ACD\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow AE.AC = AF.AD\) (đpcm).

c) Ta chứng minh FE là phân giác của \(\angle BFC\)

Xét (O) có: \(\angle BAC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

\( \Rightarrow \angle BAE = \angle EDC\) (1)

Tứ giác ABEF nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle BAE = \angle BFE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) (2)

Tứ giác CDFE có: \(\angle ECD + \angle EFD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow \angle CDFE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle EFC = \angle EDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\angle BFE = \angle EFC\)

\( \Rightarrow FE\) là phân giác của \(\angle BFC\).

* Ta chứng minh CE là phân giác của \(\angle BCF\)

Xét (O) có: \(\angle ACB = \angle ADB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

\( \Rightarrow \angle ECB = \angle EDF\)

Tứ giác CDFE nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow ECF = \angle EDF\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

Suy ra \(\angle ECB = \angle ECF\)

\( \Rightarrow CE\) là phân giác của \(\angle BCF\).

Tam giác \(BCF\) có:

FE là phân giác của \(\angle BFC\) (cmt)

CE là phân giác của \(\angle BCF\) (cmt)

Mà E là giao điểm của EF và CE

Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link