Cho 3 số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a

Câu hỏi số 612173:

Vận dụng

Cho 3 số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612173

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT tam giác.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT tam giác ta có \(x,\,\,y,\,\,z > 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = 2a\\x + z = 2b\\x + y = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{y + z}}{2}\\b = \dfrac{{x + z}}{2}\\c = \dfrac{{x + y}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{x + z}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right)} \right]\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}} = 2\\\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}} = 2\\\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}} = 2\end{array} \right.\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right)} \right] \ge \dfrac{1}{2}\left( {2 + 2 + 2} \right) = 3\).

Vậy \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}} \ge 3\,\,\left( {dpcm} \right)\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z \Leftrightarrow a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link