Cho 3 số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a

Câu hỏi số 612173:

Vận dụng

Cho 3 số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612173

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT tam giác.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT tam giác ta có \(x,\,\,y,\,\,z > 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b + c - a = x\\a + c - b = y\\a + b - c = z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = 2a\\x + z = 2b\\x + y = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{y + z}}{2}\\b = \dfrac{{x + z}}{2}\\c = \dfrac{{x + y}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{x + z}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right)} \right]\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}} = 2\\\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}} = 2\\\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}} = 2\end{array} \right.\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right)} \right] \ge \dfrac{1}{2}\left( {2 + 2 + 2} \right) = 3\).

Vậy \(\dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{a + b - c}} \ge 3\,\,\left( {dpcm} \right)\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z \Leftrightarrow a = b = c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link