Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB, SC (B, C là các tiếp điểm) và
Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB, SC (B, C là các tiếp điểm) và một cát tuyến cắt (O) tại D và E (D nằm giữa S và E). Qua B kẻ đường thẳng song song với DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A. BC và AC cắt DE lần lượt tại F và I.
a) Chứng minh: \(\angle SIC = \angle SBC\).
b) Chứng minh 5 điểm S, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh FI.FS = FD.FE.
d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh 3 điểm S, K, M thẳng hàng.
Quảng cáo
a) \(\angle SIC = \angle SBC = \angle BAC\)
b) \(SBIC\), \(SBOC\) là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh \(\Delta BFE \sim \Delta DFC\left( {g.g} \right)\) và \(\Delta FBI \sim \Delta FSC\,\left( {g.g} \right)\)
d) Chứng minh \(\Delta FKD \sim \Delta FEN\,\,\left( {g.g} \right)\), \(\angle NKS = {90^0}\)
a) Chứng minh: \(\angle SIC = \angle SBC\).
Xét (O) có: \(\angle SBC = \angle BAC\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Ta có: \(AB//SE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BAC = \angle SIC\) (hai góc ở vị trí đồng vị)
\( \Rightarrow \angle SIC = \angle SBC\) (đpcm).
b) Chứng minh 5 điểm S, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.
Xét tứ giác \(SBIC\) có: \(\angle SIC = \angle SBC\) (cmt) mà hai góc này có đỉnh B, I kề nhau cùng nhìn cạnh SC dưới một góc không đổi
\( \Rightarrow SBIC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow S,B,I,C\) cùng thuộc một đường tròn (1)
Ta có:
SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle SBO = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
SC là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle SCO = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tứ giác \(SBOC\) có: \(\angle SBO + \angle SCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow SBOC\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow S,B,O,C\) cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2), suy ra 5 điểm S, B, O, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh FI.FS = FD.FE.
Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta DFC\) có:
\(\angle BFE = \angle DFC\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle BEF = \angle DCF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BFE \sim \Delta DFC\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FD}} = \dfrac{{FE}}{{FC}}\\ \Rightarrow FB.FC = FD.FE\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta FBI\) và \(\Delta FSC\) có:
\(\angle BFI = \angle SFC\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle FBI = \angle FSC\) (vì tứ giác \(SBIC\)nội tiếp một đường tròn)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta FBI \sim \Delta FSC\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FS}} = \dfrac{{FI}}{{FC}}\\ \Rightarrow FB.FC = FS.FI\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)
Từ (3) và (4), suy ra \(FS.FI = FD.FE\) (đpcm)(5)
d) Xét \(\Delta FKD\) và \(\Delta FEN\) có:
\(\angle KFD = \angle EFN\) (đối đỉnh)
\(\angle FKD = \angle FEN\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DN)
\( \Rightarrow \Delta FKD \sim \Delta FEN\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{FD}} = \dfrac{{FE}}{{FN}} \Rightarrow FK.FN = FD.FE\) (6)
Từ (5) và (6) \( \Rightarrow FS.FI = FK.FN \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{FN}} = \dfrac{{FK}}{{FS}}\).
Xét \(\Delta FKS\) và \(\Delta FIN\) có:
\(\angle KFS = \angle IFN\) (đối đỉnh);
\(\dfrac{{FK}}{{FS}} = \dfrac{{FI}}{{FN}}\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow \Delta FKS \sim \Delta FIN\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle FKS = \angle FIN\) (2 góc tương ứng)(7)
Ta có: Tứ giác OISB nội tiếp \( \Rightarrow \angle OIS + \angle OBS = {180^0}\). Mà \(\angle OBS = {90^0} \Rightarrow \angle OIS = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle FIN = {90^0}\)(8)
Từ (7) và (8) \( \Rightarrow \angle FKS = {90^0} \Rightarrow \angle NKS = {90^0}\).
Lại có \(\angle NKM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle NKS + \angle NKM = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \angle SKM = {180^0}\).
Vậy S, K, M thẳng hàng (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
