Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab} \)
Quảng cáo
Phân tích \(\sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \), chứng minh \(\sqrt {2a + bc} \, \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\)
Tương tự đối với \(\sqrt {2b + ca} ,\sqrt {2c + ab} \)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \end{array}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số thực dương \(a + b;\,a + c\) ta có:
\(\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \)
\( \Rightarrow \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\)
\( \Rightarrow \sqrt {2a + bc} \, \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt {2b + ca} \le \dfrac{{a + 2b + c}}{2};\,\sqrt {2c + ab} \le \dfrac{{a + b + 2c}}{2}\)
\( \Rightarrow Q \le \dfrac{{2a + b + c}}{2} + \dfrac{{a + 2b + c}}{2} + \dfrac{{a + b + 2c}}{2} = 2\left( {a + b + c} \right) = 4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{2}{3}\).
Vậy max \(Q = 4\) khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
