Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm E (khác B) sao cho tiếp
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm E (khác B) sao cho tiếp tuyến của (O) tại E cắt tia AB tại điểm C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại C, D là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng d, F là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (O).
a) Chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh EF song song với đường thẳng d.
c) Gọi I là giao điểm của BE và CF, H là giao điểm của EF và AB. Chứng minh BC.IF = 2IC.BH.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\angle DEB = \angle DCB = {90^0}\) mà hai góc này cùng nhòn BD dưới một góc không đổi.
b) Chứng minh \(\angle DCE + \angle FEC = {180^0}\)
c) Chứng minh \(\Delta IEF \sim \Delta IFB\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{FE}} = \dfrac{{BI}}{{BF}}\)
Chứng minh \(\dfrac{{CD}}{{FH}} = \dfrac{{BC}}{{BH}}\)
a) Chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn.
Ta có: \(E \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle DEB = {90^0}\).
Ta có: \(DC \bot AB\) tại \(C\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DCB = {90^0}\)
Từ giác BDCE có: \(\angle DEB = \angle DCB = {90^0}\) mà hai góc này cùng nhòn BD dưới một góc không đổi.
\( \Rightarrow BDCE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Chứng minh EF song song với đường thẳng d.
Tứ giác BDCE nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle DCE + \angle DBE = {180^0}\) (tổng hai góc đổi nhau của tứ giác nội tiếp bằng \({180^0}\))
\( \Rightarrow \angle DCE + \angle FBE = {180^0}\)
Xét (O) có: \(\angle FBE = \angle FEC\) (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung EF)
Suy ra, \(\angle DCE + \angle FEC = {180^0}\)
\( \Rightarrow EF//CD\,\,\,hay\,\,\,EF//d\) (dhnb).
c) Gọi I là giao điểm của BE và CF, H là giao điểm của EF và AB. Chứng minh BC.IF = 2IC.BH.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EF//CD\,\,\left( {cmt} \right)\\AB \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot AB\) tại H
Xét (O) có: \(EF \bot AB\) tại H mà EF là dây không đi qua tâm, AB là đường kính của đường tròn
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của EF (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\(\Delta CEF\) có: CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
\( \Rightarrow \Delta CEF\) cân tại \(C\) (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CFE = \angle CEF\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\angle CEF = \angle EBF\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle CFE = \angle EBF \Rightarrow \,\angle IFE = \angle IBF\).
Xét \(\Delta IEF\) và \(\Delta IFB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BIF\,\,\,chung\\\angle IFE = \angle IBF\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IEF \sim \Delta IFB\,\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{FE}} = \dfrac{{BI}}{{BF}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Xét tam giác BEF có: BH là đường cao đồng thời là trung tuyến \( \Rightarrow \Delta BEF\) cân tại B (dhnb)
\( \Rightarrow BH\) là phân giác của góc \(IBF\).
\( \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BF}} = \dfrac{{CI}}{{CF}}\) (định lí đường phân giác).
\( \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{FE}} = \dfrac{{BI}}{{BF}} = \dfrac{{CI}}{{CF}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IF}} = \dfrac{{FC}}{{FE}} = \dfrac{{FC}}{{2FH}}\) (1)
Ta có:
\(EF//CD \Rightarrow \angle CDE = \angle DEF = \angle AEF\) (so le trong)
Vì H là trung điểm của EF \( \Rightarrow A\) là điểm chính giữa cung nhỏ EF \( \Rightarrow \angle CEA = \angle AEF\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle CDE = \angle CAE\) hay \(\angle CDE = \angle CED\) \( \Rightarrow \Delta CDE\) cân tại C (dhnb)
\( \Rightarrow CD = CE\) (tính chất tam giác cân)(2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IF}} = \dfrac{{FC}}{{FE}} = \dfrac{{FC}}{{2FH}} = \dfrac{{CD}}{{2EH}}\).
Lại có EF // d (cmt) nên \(\dfrac{{CD}}{{FH}} = \dfrac{{BC}}{{BH}}\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IF}} = \dfrac{{BC}}{{2BH}}\).
Vậy BC.IF = 2IC.BH (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
