Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm C sao cho AC > BC (C khác A và B). Gọi D là
Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm C sao cho AC > BC (C khác A và B). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng OA. Đường thẳng qua D và vuông góc với AC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCED nội tiếp được.
b) \(AC.AE = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\)
Quảng cáo
a) Tứ giác BCED có: \(\angle ECB + \angle EDB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
b) Chứng minh \(\Delta AED \sim \Delta ABC\,\left( {g.g} \right)\)
a) Tứ giác BCED nội tiếp được.
\(C\) thuộc đường tròn đường kính AB \( \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle ECB = {90^0}\)
\(ED \bot AB\) tại \(D\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle EDB = {90^0}\)
Tứ giác BCED có: \(\angle ECB + \angle EDB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
Suy ra BCED là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) \(AC.AE = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\).
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BAC\,\,\,chung\\\angle ADE = \angle ACB = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AED \sim \Delta ABC\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AC.AE = AD.AB\)
Mà D là trung điểm của AO (gt) \( \Rightarrow AD = \dfrac{1}{2}AO\)
O là tâm đường tròn đường kính AB (gt) \( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AB\)
Suy ra \(AD = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{4}AB\)
Do đó, \(AC.AE = \dfrac{1}{4}AB.AB = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
