Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh: \(\left( {a + \dfrac{1}{b} - 1}

Câu hỏi số 613544:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh:

\(\left( {a + \dfrac{1}{b} - 1} \right)\left( {b + \dfrac{1}{c} - 1} \right)\left( {c + \dfrac{1}{a} - 1} \right) \le 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613544

Phương pháp giải

Đặt \(a = \dfrac{x}{y};\,b = \dfrac{y}{z};\,c = \dfrac{z}{x}\) với \(x,y,z > 0\)

Ta xét 3 số \(x + y - z;\,y + z - x;\,z + x - y\) không thể tồn tại 2 số âm trong 3 số.

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\).

Giải chi tiết

Đặt \(a = \dfrac{x}{y};\,b = \dfrac{y}{z};\,c = \dfrac{z}{x}\) với \(x,y,z > 0\)

Bất đẳng thức \( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} - 1} \right)\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{x}{z} - 1} \right)\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} - 1} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le xyz\) (*)

Ta xét 3 số \(x + y - z;\,y + z - x;\,z + x - y\)

+) Nếu tồn tại 2 trong 3 số trên là số âm.

Giả sử đó là \(x + y - z\) và \(y + z - x\)

\( \Rightarrow \left( {x + y - z} \right) + \left( {y + z - x} \right) < 0\)

\( \Rightarrow 2y < 0\) (mâu thuẫn)

\( \Rightarrow \)không thể tồn tại 2 số âm trong 3 số.

+) Nếu tồn tại đúng 1 số âm trong 3 số, 2 số còn lại không âm, thế thì VT (*) \( \le 0\)

Còn vế phải (*) \( > 0\), hiển nhiên VT \( \le \)VP

+) Nếu cả 3 số đều không âm

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\). Ta có:

\(\left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right) \le \dfrac{{{{\left( {2y} \right)}^2}}}{4} = {y^2}\)

Tương tự: \(\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le {z^2}\)

\(\left( {z + x - y} \right)\left( {x + y - z} \right) \le {x^2}\)

Nhân theo vế ta được:

\({\left[ {\left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right)} \right]^2} \le {\left( {xyz} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le xyz\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link