Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh: \(\left( {a + \dfrac{1}{b} - 1}

Câu hỏi số 613544:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh:

\(\left( {a + \dfrac{1}{b} - 1} \right)\left( {b + \dfrac{1}{c} - 1} \right)\left( {c + \dfrac{1}{a} - 1} \right) \le 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613544

Phương pháp giải

Đặt \(a = \dfrac{x}{y};\,b = \dfrac{y}{z};\,c = \dfrac{z}{x}\) với \(x,y,z > 0\)

Ta xét 3 số \(x + y - z;\,y + z - x;\,z + x - y\) không thể tồn tại 2 số âm trong 3 số.

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\).

Giải chi tiết

Đặt \(a = \dfrac{x}{y};\,b = \dfrac{y}{z};\,c = \dfrac{z}{x}\) với \(x,y,z > 0\)

Bất đẳng thức \( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} - 1} \right)\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{x}{z} - 1} \right)\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} - 1} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le xyz\) (*)

Ta xét 3 số \(x + y - z;\,y + z - x;\,z + x - y\)

+) Nếu tồn tại 2 trong 3 số trên là số âm.

Giả sử đó là \(x + y - z\) và \(y + z - x\)

\( \Rightarrow \left( {x + y - z} \right) + \left( {y + z - x} \right) < 0\)

\( \Rightarrow 2y < 0\) (mâu thuẫn)

\( \Rightarrow \)không thể tồn tại 2 số âm trong 3 số.

+) Nếu tồn tại đúng 1 số âm trong 3 số, 2 số còn lại không âm, thế thì VT (*) \( \le 0\)

Còn vế phải (*) \( > 0\), hiển nhiên VT \( \le \)VP

+) Nếu cả 3 số đều không âm

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\). Ta có:

\(\left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right) \le \dfrac{{{{\left( {2y} \right)}^2}}}{4} = {y^2}\)

Tương tự: \(\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le {z^2}\)

\(\left( {z + x - y} \right)\left( {x + y - z} \right) \le {x^2}\)

Nhân theo vế ta được:

\({\left[ {\left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right)} \right]^2} \le {\left( {xyz} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \left( {x + y - z} \right)\left( {y + z - x} \right)\left( {z + x - y} \right) \le xyz\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link