Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 5 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số) a) Chứng minh rằng với

Câu hỏi số 613661:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 5 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1} + 2{x_2} = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613661

Phương pháp giải

a) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 5} \right)\\\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 20\\\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 16\\\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 16 > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị \(m\).

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = m\\{x_1}{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)

Ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\)

Thay \({x_1} = 1 - 2{x_2}\) vào \({x_1} + {x_2} = m\) ta có: \(1 - 2{x_2} + {x_2} = m\)\( \Leftrightarrow - {x_2} = m - 1 \Leftrightarrow {x_2} = 1 - m\).

Suy ra \(x{ _1} = 1 - 2\left( {1 - m} \right) = 1 - 2 + 2m = 2m - 1\)

Thay \({x_1};{x_2}\) vào \({x_1}{x_2} = m - 5\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {2m - 1} \right)\left( {1 - m} \right) = m - 5\\ \Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m - 1 + m - m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\end{array}\)

Phương trình có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên có một nghiệm \(m = - 1\), nghiệm còn lại \(m = - \dfrac{c}{a} = \)2.

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;2} \right\}\) là các giá trị thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link