Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} + 8m - 9 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số)a)

Câu hỏi số 613839:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} + 8m - 9 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số)

a) Giải phương trình (1) với \(m = 0\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{{x_1^2 + x_2^2 - 48}}{{{x_1} + {x_2}}}\) nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613839

Phương pháp giải

a) Thay m = 0 giải phương trình bậc hai

b) Tính \(\Delta ,\) cho \(\Delta > 0\), áp dụng hệ thức Viet.

Giải chi tiết

a) Thay \(m = 0\) vào phương trình (1) ta được:

\({x^2} - 2.4x - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 9 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) - 9 = 0\) nên phương trình có 1 nghiệm \(x = - 1\) và nghiệm còn lại \(x = - \dfrac{c}{a} = 9\).

Vậy với \(m = 0\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;9} \right\}\).

b) \({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} + 8m - 9 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} + 8m - 9} \right) = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} - 8m + 9\)\( = 25 > 0\)

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} + 8m - 9\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\dfrac{{x_1^2 + x_2^2 - 48}}{{{x_1} + {x_2}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 48}}{{{x_1} + {x_2}}}\)

\( = \dfrac{{4{{\left( {m + 4} \right)}^2} - 2\left( {{m^2} + 8m - 9} \right) - 48}}{{2\left( {m + 4} \right)}}\)

\( = \dfrac{{4\left( {{m^2} + 8m + 16} \right) - 2{m^2} - 16m + 18 - 48}}{{2m + 8}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2{m^2} + 16m + 34}}{{2m + 8}}\\ = \dfrac{{2{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 2}}{{2\left( {m + 4} \right)}}\end{array}\)

\( = \)\(m + 4 + \dfrac{1}{{m + 4}}\)

Để \(\dfrac{{x_1^2 + x_2^2 - 48}}{{{x_1} + {x_2}}} \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m + 4 + \dfrac{1}{{m + 4}} \in \mathbb{Z}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m + 4 \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{m + 4}} \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow m + 4 \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 4 = 1\\m + 4 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 5} \right\}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link