Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 614568:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết tam giác \(SBD\) đều và có diện tích bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

A. \({45^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({75^0}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614568

Phương pháp giải

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\AD \subset \left( {ABCD} \right),AD \bot CD\\SD \subset \left( {SAD} \right),SD \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SDA}\).

Giả sử cạnh của tam đều \(SBD\) là \(x\,\, \Rightarrow {S_{SBD}} = \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow x = 2a\).

\( \Rightarrow SD = SB = BD = 2a\).

\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AD = \dfrac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A \Rightarrow \cos \widehat D = \dfrac{{AD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat D = {45^0}\)\( \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.