Cho ba số a, b, c thỏa mãn \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) và \(a + b + c = 0\). Chứng

Câu hỏi số 614754:

Vận dụng cao

Cho ba số a, b, c thỏa mãn \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) và \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614754

Phương pháp giải

Chứng minh \( - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 1\), \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\) và \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\)

Giải chi tiết

Từ giả thiết: \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) nên ta suy ra được:

\(\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \ge 0\)

Suy ra \( - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 1\)

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2\left( {ab + bc + ca} \right) \le 2\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \le {a^2},\forall - 1 \le a \le 1\\{b^7} \le {b^2},\forall - 1 \le b \le 1\\{c^{2022}} \le {c^2},\forall - 1 \le c \le 1\end{array} \right.\)

Do đó, \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\) hay \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 1;b = - 1;c = 0\)

----------HẾT----------

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link