Cho ba số a, b, c thỏa mãn \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) và \(a + b + c = 0\). Chứng

Câu hỏi số 614754:

Vận dụng cao

Cho ba số a, b, c thỏa mãn \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) và \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614754

Phương pháp giải

Chứng minh \( - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 1\), \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\) và \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\)

Giải chi tiết

Từ giả thiết: \( - 1 \le a \le 1; - 1 \le b \le 1; - 1 \le c \le 1\) nên ta suy ra được:

\(\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \ge 0\)

Suy ra \( - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 1\)

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2\left( {ab + bc + ca} \right) \le 2\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \le {a^2},\forall - 1 \le a \le 1\\{b^7} \le {b^2},\forall - 1 \le b \le 1\\{c^{2022}} \le {c^2},\forall - 1 \le c \le 1\end{array} \right.\)

Do đó, \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\) hay \({a^2} + {b^7} + {c^{2022}} \le 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 1;b = - 1;c = 0\)

----------HẾT----------

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link