a. Giải phương trình: \(3x - 1 + \dfrac{{x - 1}}{{4x}} = \sqrt {3x + 1} \)b. Giải hệ phương trình:

Câu hỏi số 615357:

Vận dụng cao

a. Giải phương trình: \(3x - 1 + \dfrac{{x - 1}}{{4x}} = \sqrt {3x + 1} \)

b. Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 8}\\{\dfrac{1}{{{x^2} + 2x}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 2y}} = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615357

Giải chi tiết

a. ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ge - \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

Phương trình đã cho đương đương với :

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{4x\left( {3x - 1} \right) + x - 1 = 4x\sqrt {3x + 1} }\\ \Leftrightarrow &{12{x^2} - \left( {3x + 1} \right) = 4x\sqrt {3x + 1} }\end{array}\)

Đặt \(a = 2x,b = \sqrt {3x + 1} \) ta có phương trình \(3{a^2} - {b^2} = 2ab \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + 3a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a}\\{b = - 3a}\end{array}} \right.\) Khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} = 2x}\\{\sqrt {3x + 1} = - 6x}\end{array}} \right.\)

\( + \) ) Với \(\sqrt {3x + 1} = 2x\), điều kiện \(x > 0\), ta có

\(\sqrt {3x + 1} = 2x \Leftrightarrow 3x + 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - \dfrac{1}{4}\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\)

+) Với \(\sqrt {3x + 1} = - 6x\), điều kiện \( - \dfrac{1}{3} \le x < 0\), ta có

\(\sqrt {3x + 1} = - 6x \Leftrightarrow 36{x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 - \sqrt {153} }}{{72}}}\\{x = \dfrac{{3 + \sqrt {153} }}{{72}}\left( {{\rm{\;KTM\;}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trinh có hai nghiệm là \(x = 1,x = \dfrac{{3 - \sqrt {153} }}{{72}}\).

b. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 8}\\{\dfrac{1}{{{x^2} + 2x}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 2y}} = \dfrac{1}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 9}\\{\dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2} - 1}} + \dfrac{1}{{{{(y + 1)}^2} - 1}} = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Đặt \(u = x + 1,v = y + 1\)

Hệ đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 9}\\{\dfrac{1}{{{u^2} - 1}} + \dfrac{1}{{{v^2} - 1}} = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\), điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u \ne \pm 1}\\{v \ne \pm 1}\end{array}\left( {\rm{*}} \right)} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 9}\\{4\left( {{u^2} + {v^2} - 2} \right) = {u^2}{v^2} - {u^2} - {v^2} + 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 9}\\{{u^2} + {v^2} = 18}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 9}\\{u + v = \pm 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = v = 3}\\{u = v = - 3}\end{array}\left( {TM\left( {\rm{*}} \right)} \right)} \right.} \right.} \right.\)

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link