a. Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình \({y^2} - 5y + 62 = \left( {y - 2}

Câu hỏi số 615358:

Vận dụng cao

a. Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình \({y^2} - 5y + 62 = \left( {y - 2} \right){x^2} + \left( {{y^2} - 6y + 8} \right)x\).

b. Cho đa thức \(P\left( x \right)\) với các số nguyên thỏa mãn \(P\left( {2021} \right) \cdot P\left( {2022} \right) = 2023\). Chứng minh rằng đa thức \(P\left( x \right) - 2024\) không có nghiệm nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615358

Giải chi tiết

a. Ta có: \({y^2} - 5y + 62 = \left( {y - 2} \right){x^2} + \left( {{y^2} - 6y + 8} \right)x\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 5y + 6} \right) + 56 = \left( {y - 2} \right){x^2} + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right)x}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {y - 3} \right) + 56 = \left( {y - 2} \right){x^2} + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right)x}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {{x^2} + yx - 4x - y + 3} \right) = 56}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {x + y - 3} \right) = 56}\end{array}\)

Nhận thấy \(\left( {y - 2} \right) + \left( {x - 1} \right) = x + y - 3\), nên ta phải phân tích số 56 thành tích của 3 số nguyên mà tổng 2 số đầu bằng 2 số còn lại.

Như vậy, ta có:

\(56 = 1.7.8 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;9} \right)\)

\(56 = 7.1.8 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right)\)

\(56 = \left( { - 8} \right).1.\left( { - 7} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 7;3} \right)\)

\(56 = 1\left( { - 8} \right)\left( { - 7} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2; - 6} \right)\)

\(56 = \left( { - 8} \right)7\left( { - 1} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 7;9} \right)\)

\(\;56 = 7\left( { - 8} \right)\left( { - 1} \right) \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {8; - 6} \right)\)

Vậy phương trình có 6 nghiệm trên.

b. Giả sử đa thức \(P\left( x \right)\) có 1 nghiệm nguyên là a.

Ta có: \(P\left( a \right) - 2024 = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right),(Q\left( x \right)\) là đa thức có hệ số nguyên \()\)

Ta có: \(P\left( {2021} \right) - 2024 = \left( {2021 - a} \right)Q\left( {2021} \right)\)

\(P\left( {2022} \right) - 2024 = \left( {2022 - a} \right)Q\left( {2022} \right)\)

Mà \(P\left( {2021} \right) \cdot P\left( {2022} \right) = 2023\) là số lẻ \( \Rightarrow P\left( {2021} \right),P\left( {2022} \right)\) là số lẻ

Do đó \(2021 - a,2022 - a\) là các số lẻ

\( \Rightarrow \left( {2021 - a} \right) - \left( {2022 - a} \right)\) là số chẵn

\( \Rightarrow - 1\) là số chẵn (điều này vô lí)

\( \Rightarrow P\left( x \right) - 2024\) không có nghiệm nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link