Cho phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) ( \(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Tìm

Câu hỏi số 616027:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) ( \(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616027

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{\Delta }} = {(m - 2)^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 8m + 16 = {(m - 4)^2} \ge 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \({\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)

Khi đó theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 - m}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3 = - {m^2} + 10m - 19 = 6 - \left( {{m^2} - 10m + 25} \right)\)

\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\forall m\)

Đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa mãn điều kiện \(m \ne 4\))

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi \(m = 5\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link