a) Giải phương trình \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {2x - 1} = 5\). b) Giải hệ phương trình \(\left\{

Câu hỏi số 616028:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {2x - 1} = 5\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {x + 3} \right)\left( {2x + y} \right) = 30}\\{{x^2} + 5x + y = 13}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616028

Giải chi tiết

Ta có: \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {2x - 1} = 5\)

Điều kiện xác định \(x \ge 1\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} + 2x - 1 = 25\\ \Leftrightarrow 3x - 2 + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 25\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 27 - 3x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}27 - 3x \ge 0\\4\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = {\left( {27 - 3x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\8{x^2} - 12x + 4 = 729 - 162x + 9{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\{x^2} - 150x + 725 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 145\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ 5 \right\}\)

b) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {x + 3} \right)\left( {2x + y} \right) = 30}\\{{x^2} + 5x + y = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {2x + y} \right) = 30}\\{\left( {{x^2} + 3x} \right) + \left( {2x + y} \right) = 13}\end{array}} \right.\)

suy ra \({x^2} + 3x\) và \(2x + y\) là nghiệm của phương trình \({t^2} - 13t + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó ta có 2 trường hợp \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 10\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 3\\2x + 3y = 10\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\)

Giải \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 10\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 10 = 0\\y = \dfrac{{3 - 2x}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 5\end{array} \right.\\y = \dfrac{{3 - 2x}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 13\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x = 3\\2x + 3y = 10\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 3 = 0\\y = \dfrac{{10 - 2x}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\y = \dfrac{{10 - 2x}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\\y = 13 - \sqrt {21} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}\\y = 13 + \sqrt {21} \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm \(\left( {2, - 1} \right);\left( { - 5,13} \right);\left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2},13 - \sqrt {21} } \right);\left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2},13 + \sqrt {21} } \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link