Cho biểu thức \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt

Câu hỏi số 617024:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn \(P\).

b) Tìm giá trị lớn nhất của \(P\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617024

Phương pháp giải

Tìm GTNN bằng cách dùng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\)

Ta có \(\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{(\sqrt x - 1) - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{(\sqrt x + 1) + 1}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\\ = - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\end{array}\)

Suy ra \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x - 1} \right)^2}.\left( { - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\\ = - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\ = - \left( {x - 1} \right) - {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2}\\ = - x + 1 - x + 2\sqrt x - 1\\ = - 2x + 2\sqrt x \end{array}\)

\( \Rightarrow P = - 2x + 2\sqrt x \)

b) Ta có \(P = - 2x + 2\sqrt x = - 2{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(P \le \dfrac{1}{2};P\) dạt GTLN bằng \(\dfrac{1}{2}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link