Cho biểu thức \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt

Câu hỏi số 617024:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn \(P\).

b) Tìm giá trị lớn nhất của \(P\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617024

Phương pháp giải

Tìm GTNN bằng cách dùng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\)

Ta có \(\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{(\sqrt x - 1) - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{(\sqrt x + 1) + 1}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\\ = - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\end{array}\)

Suy ra \(P = {(x - 1)^2}\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x - 1} \right)^2}.\left( { - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}} \right)\\ = - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\ = - \left( {x - 1} \right) - {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2}\\ = - x + 1 - x + 2\sqrt x - 1\\ = - 2x + 2\sqrt x \end{array}\)

\( \Rightarrow P = - 2x + 2\sqrt x \)

b) Ta có \(P = - 2x + 2\sqrt x = - 2{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(P \le \dfrac{1}{2};P\) dạt GTLN bằng \(\dfrac{1}{2}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link