Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và hai điểm \(P,Q\) nằm ngoài \(\left( O \right)\) sao cho góc

Câu hỏi số 617908:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và hai điểm \(P,Q\) nằm ngoài \(\left( O \right)\) sao cho góc \(POQ\) vuông, \(PQ\) không cắt \(\left( O \right)\). Kẻ hai tiếp tuyến \(PA,PB\) với đường tròn \(\left( O \right)(A,B\) là hai tiếp điểm; tia \(PA\) nằm giữa hai tia \(PQ\) và \(PO)\). Hai cát tuyến \(PDC,QEC\) thay đổi của \(\left( O \right)\) cùng đi qua \(C(D\) nằm giữa \(P\) và \(C;E\) nằm giữa \(Q\) và \(C)\). Tia \(PE\) cắt đường tròn tịa điểm thứ hai \(F\left( {F \ne E} \right).H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OP\). Chứng minh rằng:

1) Tích \(PE.PF\) không đổi.

2) \(\angle {AHE} = \angle {AHF}\).

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PDF\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617908

Giải chi tiết

1) Có \(\angle {PAF} = \angle {PEA}\)

\(\Delta PAF \sim \Delta PEA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PE}} = \dfrac{{PF}}{{PA}} \Rightarrow PE.PF = P{A^2}\)

\(\Delta OAP\) vuông tại \(A \Rightarrow P{A^2} = O{P^2} - O{A^2} = O{P^2} - {R^2}\)

\( \Rightarrow PE.PF = O{P^2} - {R^2}\) : không đổi.

2) \(\Delta OAP\) vuông tại \(A,AH\) là đường cao \( \Rightarrow P{A^2} = PH.PO\).

Do đó \(PE.PF = PH.PO \Rightarrow \Delta PHF \sim \Delta PEO\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle {PHF} = \angle {PEO} \Rightarrow OHFE\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle {PHF} = \angle {OEF} = \angle {OFE} = \angle {OHE}\).

Mà \(AH \bot OP\) nên \(\angle {AHE} = \angle {AHF}\).

3) Gọi \(Q'\) là giao điểm của \(PQ\) và đường tròn ngoại tiếp \(\Delta QEF\)

\(\Delta PFQ' \sim \Delta PQE\left( {g.g} \right) \Rightarrow PQ'.PQ = PE.PF = O{P^2} - {R^2}\)

\( \Rightarrow PQ' = \dfrac{{O{P^2} - {R^2}}}{{PQ}}\) : không đổi \( \Rightarrow Q'\) cố định.

\(\Delta PFD \sim \Delta PCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow PC.PD = PE.PF\)

\( \Rightarrow PC.PD = PQ.PQ' \Rightarrow \Delta PQ'D \sim \Delta PCQ\) (c.g.c \() \Rightarrow \angle {PQ'D} = \angle C\)

Mà \(\angle {PFD} = \angle C\) nên \(\angle {PFD} = \angle {PQ'D} \Rightarrow PDFQ'\) là tứ giác nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp \(\Delta PDF\) luôn đi qua điểm \(Q'\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link