Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Chứng minh rằng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}}

Câu hỏi số 618298:
Vận dụng cao

Chứng minh rằng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)\) với mọi số thực x, y khác 0

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:618298
Giải chi tiết

Đặt \(t = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)

Ta có \({t^2} = {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 2\)

Theo Cauchy ta có \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} \ge 2 \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 2\end{array} \right.\)

Bất phương trình có dạng \({t^2} - 3t + 2 \ge 0 \Rightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) \ge 0\;\;(*)\)

Với \(t \ge 2\) và \(t \le  - 2\) thì (*) luôn đúng nên bất phương trình ban đầu luôn đúng (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn