Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Chứng minh rằng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}}

Câu hỏi số 618298:
Vận dụng cao

Chứng minh rằng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)\) với mọi số thực x, y khác 0

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:618298
Giải chi tiết

Đặt \(t = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)

Ta có \({t^2} = {\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 2\)

Theo Cauchy ta có \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} \ge 2 \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 2\end{array} \right.\)

Bất phương trình có dạng \({t^2} - 3t + 2 \ge 0 \Rightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) \ge 0\;\;(*)\)

Với \(t \ge 2\) và \(t \le  - 2\) thì (*) luôn đúng nên bất phương trình ban đầu luôn đúng (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn