Cho \(2x + y = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(D = \left| {2x + 3} \right| + \left| {y + 2} \right| +

Câu hỏi số 618694:

Vận dụng cao

Cho \(2x + y = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(D = \left| {2x + 3} \right| + \left| {y + 2} \right| + 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618694

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {ab} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {y + 2} \right| \ge \left| {2x + 3 + y + 2} \right| = \left| 8 \right| = 8\forall x,y\)

\( \Rightarrow \left| {2x + 3} \right| + \left| {y + 2} \right| + 2 \ge 10\forall x,y\)

Hay \(D \ge 10\forall x,y\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {y + 2} \right) \ge 0\left( 3 \right)\\2x + y = 3\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 4 \right) \Rightarrow y = 3 - 2x\) thay vào \(\left( 3 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {3 - 2x + 2} \right) \ge 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0\end{array}\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{3}{2}\\x \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{5}{2}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{ - 3}}{2}\\x \ge \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTNN của \(D\) là \(10\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{5}{2}\) và \(y = 3 - 2x\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link