Cho \(x - y = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C = \left| {2x + 1} \right| + \left| {2y - 1} \right|\)

Câu hỏi số 618693:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618693

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {ab} \right|\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

Ta có : \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2y - 1} \right| = \left| {2x + 1} \right| + \left| {1 - 2y} \right| \ge \left| {2x + 1 + 1 - 2y} \right| = \left| {2\left( {x - y} \right) + 2} \right| = 6\forall x,y\)

\( \Rightarrow C \ge 6\forall x,y\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 1} \right)\left( {1 - 2y} \right) \ge 0\left( 1 \right)\\x - y = 2\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow x = y + 2\) thay vào \(\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( {2\left( {y + 2} \right) + 1} \right)\left( {1 - 2y} \right) \ge 0\\\left( {2y + 5} \right)\left( {1 - 2y} \right) \ge 0\end{array}\)

+ TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}2y + 5 \ge 0\\1 - 2y \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge \dfrac{{ - 5}}{2}\\y \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{5}{2} \le y \le \dfrac{1}{2}\)

+ TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}2y + 5 \le 0\\1 - 2y \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \dfrac{{ - 5}}{2}\\y \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy GTNN của \(C\) là \(6\) khi và chỉ khi \(x = y + 2\) và \( - \dfrac{5}{2} \le y \le \dfrac{1}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link