Cho tam giác \(ABC\) chọn \(AB < AC\), trực tâm \(H\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O
Cho tam giác \(ABC\) chọn \(AB < AC\), trực tâm \(H\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AM\). Tia \(AM\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BKC\) tại điểm thứ hai là \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(ABNC\) là hình bình hành.
Quảng cáo
Cần chứng minh \(ABNC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \) cần chứng minh \(MA = MN\)
Ta có: \(BKCN\) nội tiếp \( \Rightarrow MK.MN = MB.MC = M{C^2}\).
Thật vậy, gọi \({A_1},{B_1}\), và \({C_1}\) lần lượt là chân đường cao từ \(A,B,C\) lên \(BC,AC,AB\)
Ta có: \(\Delta B{B_1}C\) vuông có \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(MB = MC = M{B_1}\).
Suy ra cần chứng minh \(MB_1^2 = MK.MA\).
Ta có: \(AHK{B_1}\) nội tiếp \(\left( {\angle {AKG} = \angle {A{B_1}H}} \right) \Rightarrow \angle {AK{B_1}} = \angle {AH{B_1}}\).
\({A_1}H{B_1}C\,\,\,{\rm{nt}} \Rightarrow \angle {AK{B_1}} = \angle {AH{B_1}} = \angle {{B_1}CM} = \angle {M{B_1}C} = {180^ \circ } - \angle {AK{B_1}} = {180^ \circ } - \angle {M{B_1}C} \Rightarrow \angle {MK{B_1}} = \angle {M{B_1}A}\)
\( \Rightarrow \Delta MK{B_1} \sim \Delta M{B_1}A \Rightarrow MK.MA\), suy ra điều phải chứng minh.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
