Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 620095:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e;\)\(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} ,\) với mọi \(x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(10 < f\left( 5 \right) < 11\).

B. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).

C. \(11 < f\left( 5 \right) < 12\).

D. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620095

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức, sau đó tích phân hai vế.

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

\(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }},\forall x > 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^5 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int\limits_1^5 {\dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx\\ \Leftrightarrow \left. {\ln f\left( x \right)} \right|_1^5 = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^5 {\dfrac{1}{{2\sqrt {3x + 1} }}} d\left( {3x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left. {\ln f\left( x \right)} \right|_1^5 = \left. {\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} } \right|_1^5\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \ln f\left( 5 \right) - \ln f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3}\left( {4 - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \ln f\left( 5 \right) = \ln e + \dfrac{2}{3}.2 = \dfrac{7}{3}\\ \Rightarrow f\left( 5 \right) = {e^{\dfrac{7}{3}}} \approx 10,3\end{array}\).

\( \Rightarrow 10 < f\left( 5 \right) < 11\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.