1. Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2m - 1\) (với

Câu hỏi số 623549:

Vận dụng

1. Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2m - 1\) (với \(m\) là tham số) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\\sqrt {x + 6} + \sqrt {y + 3} = - {x^2} + 2x + 8\end{array} \right.\,\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623549

Phương pháp giải

1) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định nằm trên đường thẳng \(d\)

\( \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m - 2} \right){x_0} + 2m - 1\) có nghiệm với \(\forall m\)

2) Từ (1) rút ra \(x - y - 2 = 0\,\)thay (2) và làm bằng cách nhân liên hợp.

Giải chi tiết

1) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định nằm trên đường thẳng \(d\)

\( \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m - 2} \right){x_0} + 2m - 1\) có nghiệm với \(\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\,\left( {\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của A trên \(d \Rightarrow AH \le AM\)

Khoảng cách \(AH\) lớn nhất là \(AM\)khi \(H \equiv M \Leftrightarrow AM \bot d\)

Phương trình đường thẳng \(AM:\,y = - x + 1\)

\(AM \bot d \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = 3.\)

2) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 6\\y \ge - 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + 2 > 0\,\,\forall x,y} \right)\end{array}\)

Thay \(y = x - 2\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\)

\(\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 1} = - {x^2} + 2x + 8,\,\,\,\,(x \ge - 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} - 3 + \sqrt {x + 1} - 2 + {x^2} - 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1 > 0,\,\forall x \ge - 1} \right)\\x = 3 \Rightarrow y = 1.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link