Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R}

Câu hỏi số 623550:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AK,\,BE,\,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) và cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại các điểm lần lượt là \(M,\,N,\,P\) (\(M\) khác \(A\), \(N\) khác \(B\), \(P\) khác \(C\)).

1. Chứng minh \(EF\,{\rm{//}}\,PN.\) \(\)

2. Chứng minh diện tích tứ giác \(AEOF\) bằng \(\dfrac{{EF.R}}{2}.\)

3. Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{AM}}{{AK}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}}.\)

4. Gọi \(S\) và \(Q\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(K\) đến các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(QS\) cắt \(BC\) tại \(G\), đường thẳng \(GA\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(J\) (\(J\) khác \(A\)). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCQS\). Chứng minh ba điểm \(I,\,K,\,J\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623550

Giải chi tiết

1) \(\angle {BEC} = \angle {BFC} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

\( \Rightarrow \angle {CBE} = \angle {CFE}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà \(\angle {CBE} = \angle {CPN}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung )

\( \Rightarrow \angle {CFE} = \angle {CPN} \Rightarrow EF\,//\,PN\,\)

2) \(\angle {ABN} = \angle {ACP}\) (cùng phụ với \(\angle {BAC}\) )

\( \Rightarrow AN = AP\,\,\)

\(ON = OP = R\)

\( \Rightarrow A,\,O\)nằm trên đường trung trực của \(PN\)

\( \Rightarrow AO \bot PN\)

Mà \(EF\,//\,PN\, \Rightarrow AO \bot EF \Rightarrow {S_{AEOF}} = \dfrac{{EF.R}}{2}\)

3) \(\angle {BAM} = \angle {BCM}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung )

\(\angle {BAM} = \angle {BCF}\) (cùng phụ với \(\angle {ABC}\))

\( \Rightarrow \angle {BCF} = \angle {BCM}\)

\(\Delta MCH\) có \(CK\) vừa là đường phân giác vừa là đường cao

\( \Rightarrow \)\(\Delta MCH\)cân tại \(C \Rightarrow K\) là trung điểm của \(MH\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AM}}{{AK}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = \dfrac{{AK + KM}}{{AK}} + \dfrac{{BE + EN}}{{BE}} + \dfrac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{KM}}{{AK}} + \dfrac{{EN}}{{BE}} + \dfrac{{FP}}{{CF}}.\end{array}\)

\(\dfrac{{KM}}{{AK}} = \dfrac{{KH}}{{AK}} = \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\)

Chứng minh tương tự: \(\dfrac{{EN}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\,\dfrac{{FP}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\)

\(\dfrac{{AM}}{{AK}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = 3 + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3 + 1 = 4.\)

\(\angle {ASK} + \angle {AQK} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \({\rm{AS}}KQ\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle {ASQ} = \angle {AKQ}\)

\(\angle {AKQ} = \angle {BCQ}\) (cùng phụ với \(\angle {CKQ}\) )

Do đó \(\angle {ASQ} = \angle {BCQ}\)

Suy ra \(BSQC\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle {GBS} = \angle {GQC}\)

Vì \(ASKQ\)là tứ giác nội tiếp nên: \(\angle {GQK} = \angle {BAK}\)

Mà \(\angle {BAK} = \angle {GKS}\)(cùng phụ với \(\angle {SBK}\))

nên \(\angle {GQK} = \angle {GKS}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow G{K^2} = GB.GC\,\,\)

\( \Rightarrow G{K^2} = GJ.GA \Rightarrow \dfrac{{GK}}{{GA}} = \dfrac{{GJ}}{{GK}}\)

\( \Rightarrow AJ \bot JK\)

\(JK\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\) (\(D\)khác \(K\)) thì \(AD\)là đường kính của \(\left( O \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(KD\), \(L\) là trung điểm \(QC\).

Khi đó \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta AKD \Rightarrow OI{\rm{//}}AK \Rightarrow OI \bot BC\)

Mà \(OB = OC\) nên \(OI\) là trung trực \(BC\) (3)

Vì \(KQ{\rm{//}}DC\) (cùng vuông góc \(AC\)) nên \(KQCD\) là hình thang.

⇒ \(IL\) là đường trung bình của hình thang \(KQCD\)

⇒ \(IL{\rm{//}}KQ \Rightarrow IL \bot QC\)

⇒ \(IL\) là trung trực của \(QC\) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BSQC\)

Vậy \(I,\,K,\,J\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link