Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh rằng\(\dfrac{1}{{\sqrt a + 2\sqrt b +

Câu hỏi số 625071:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{{\sqrt a + 2\sqrt b + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt b + 2\sqrt c + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt c + 2\sqrt a + 3}} \le \dfrac{1}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625071

Phương pháp giải

Đặt \(x = \sqrt a ,y = \sqrt b ,z = \sqrt c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x,y,z > 0}\\{xyz = 1}\end{array}} \right.\).

BĐT cần chứng minh có dạng

\(\dfrac{1}{{x + 2y + 3}} + \dfrac{1}{{y + 2z + 3}} + \dfrac{1}{{z + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2}{\rm{. }}\)

Giải chi tiết

Đặt \(x = \sqrt a ,y = \sqrt b ,z = \sqrt c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x,y,z > 0}\\{xyz = 1}\end{array}} \right.\).

BĐT cần chứng minh có dạng

\(\dfrac{1}{{x + 2y + 3}} + \dfrac{1}{{y + 2z + 3}} + \dfrac{1}{{z + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2}{\rm{. }}\)

Ta có:

\(x + 2y + 3 = (x + y) + (y + 1) + 2 \ge 2\sqrt {xy} + 2\sqrt y + 2{\rm{ }}\) (áp dụng bdt Cauchy)

\(\begin{array}{l}{\rm{ }} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2y + 3}} \le \dfrac{1}{{2\sqrt {xy} + 2\sqrt y + 2}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2y + 3}} \le \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt y + 1}}\end{array}\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{y + 2z + 3}} \le \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{\sqrt {yz} + \sqrt z + 1}}\\\dfrac{1}{{z + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{\sqrt {zx} + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

Ta có

\(\dfrac{1}{{x + 2y + 3}} + \dfrac{1}{{y + 2z + 3}} + \dfrac{1}{{z + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz} + \sqrt z + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {zx} + \sqrt x + 1}}} \right)\)

Mặt khác: \(\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz} + \sqrt z + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {zx} + \sqrt x + 1}}\)

\( = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt y }} + \sqrt x + 1}}\)

\( = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt y + 1 + \sqrt {xy} }} + \dfrac{{\sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} + \sqrt y }} = 1\)

Do đó \(\dfrac{1}{{x + 2y + 3}} + \dfrac{1}{{y + 2z + 3}} + \dfrac{1}{{z + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2}\).

Hay \(\dfrac{1}{{\sqrt a + 2\sqrt b + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt b + 2\sqrt c + 3}} + \dfrac{1}{{\sqrt c + 2\sqrt a + 3}} \le \dfrac{1}{2}\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link