Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Hai đường cao

Câu hỏi số 625070:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Hai đường cao \(BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) tại \(D\) và cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(M\).

1) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.

2) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {EBM}\).

3) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\). Chứng minh \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCE\).

4) Khi hai điểm \(B,C\) cố định và điểm \(A\) di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Chứng minh \(OA \bot EF\). Xác định vị trí của điểm \(A\) để tổng \(DE + EF + FD\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625070

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ

2) Chứng minh \(AD \bot BC\)

3) Chứng minh \(\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {IEA} + \widehat {KEC} = {90^ \circ }\)

Giải chi tiết

Ta có \(\widehat {AEH} = {90^ \circ }\) (vì \(BE\) là đường cao).

Ta có \(\widehat {AFH} = {90^ \circ }\) (vì \(CF\) là đường cao).

Suy ra \(\widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {180^ \circ }\)

Vậy tứ giác \(AEHF\) nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \({180^ \circ }\) ).

2) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {EBM}\).

Ta có \(\widehat {MAC} = \widehat {MBC}\) (2 góc nôi tiếp cùng chắn môt cung).

Vì \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow AD \bot BC\).

Lại có \(\widehat {MAC} = \widehat {EBC}\) (hai góc cùng phu với \(\widehat {ACB}\) ).

\( \Rightarrow \widehat {MBC} = \widehat {EBC}\)

\( \Rightarrow BC\) là tia phân giác của \(\widehat {EBM}\).

3) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\). Chứng minh rằng \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCE\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCE\).

Tam giác \(IAE\) cân tại \(I \Rightarrow \widehat {IAE} = \widehat {IEA}\)

Tam giác \(KCE\) cân tai \(K \Rightarrow \widehat {KEC} = \widehat {KCE}\)

Mà \(\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {IEA} + \widehat {KEC} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {IEK} = {90^ \circ }\)

Suy ra \(IE\) là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCE\).

Do tứ giác \({\rm{BCEF}}\) nội tiếp ( 2 đỉnh \({\rm{E}},{\rm{F}}\) cùng nhìn cạnh \({\rm{BC}}\) dưới l góc vuông)

nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) (cùng bù với \(\widehat {BFE}\) ).

Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn \((O;R)\).

Ta có \(Ax \bot OA.\quad \widehat {xAB} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \(AB\) ).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {xAB} = \widehat {AFE}\\ \Rightarrow Ax//EF.\\ \Rightarrow EF \bot OA.\\ \Rightarrow {S_{AOE}} + {S_{AOF}} = \dfrac{1}{2}OA \cdot EF = \dfrac{1}{2}R \cdot EF.\end{array}\)

Chứng minh tương tự \({S_{BOF}} + {S_{BOD}} = \dfrac{1}{2}R \cdot DF\).

\({S_{COD}} + {S_{COE}} = \dfrac{1}{2}R \cdot DE\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}R \cdot (DE + EF + FD)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}BC \cdot AD = \dfrac{1}{2}R \cdot (DE + EF + FD)\end{array}\)

\( \Rightarrow DE + EF + FD = \dfrac{{BC}}{R} \cdot AD \le \dfrac{{BC}}{R}AK\)

Mà \(AK \le AO + OK\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BC}}{R} \cdot AK \le \dfrac{{BC}}{R}\left( {R + \sqrt {{R^2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}} } \right).\\ \Rightarrow DE + EF + FD \le \dfrac{{BC}}{R}\left( {R + \sqrt {{R^2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}} } \right)\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi A, O, K thẳng hàng hay \(A\) là điểm chính giữa của cung lớn \(BC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link