(0,5 điểm) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c}

Câu hỏi số 625475:

Vận dụng cao

(0,5 điểm) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} > 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625475

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} = \dfrac{{2a}}{{2\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} \ge \dfrac{{2a}}{{a + b + c}}}\\{}&{\dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} = \dfrac{{2b}}{{2\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} \ge \dfrac{{2b}}{{a + b + c}}}\\{}&{\dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} = \dfrac{{2c}}{{2\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge \dfrac{{2c}}{{a + b + c}}}\end{array}\)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge 2 \cdot \left( {\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{a + b + c}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {b\left( {c + a} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {c\left( {a + b} \right)} }} \ge 2\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b + c,b = c + a,c = a + b\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link