(1,0 điểm) Trên nửa đường tròn đường kính \(AD\) lấy hai điểm \(B,C\) phân biệt sao cho \(B\)

Câu hỏi số 625474:

Vận dụng

(1,0 điểm) Trên nửa đường tròn đường kính \(AD\) lấy hai điểm \(B,C\) phân biệt sao cho \(B\) ở giữa \(A\) và \(C\) ( \(B\) khác \(A\) và \(C\) khác \(D\) ). Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD;F\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(E\) xuống \(AD\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(DCEF\) nội tiếp được một đường tròn. b) Haim tam giác \(CEF\) và \(CBA\) đồng dạng với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625474

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất về góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(DCEF\) nội tiếp được một đường tròn.

Ta có: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \({\rm{AD}}\) nên \(\widehat {ACD} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {ECD} = {90^ \circ }\)

Vì \(EF \bot AD\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow \widehat {EFD} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {EFD} + \widehat {ECD} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Ta có: \(DCEF\) nội tiếp trong một đường tròn (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {EFC} = \widehat {BDC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\) )

Mà \(\widehat {BDC} = \widehat {BAC}(\) góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\) )

\( \Rightarrow \widehat {EFC} = \widehat {BAC}\)

Ta lại có:

\(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {108^ \circ }\) (do \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat {FEC} + \widehat {ADC} = {108^ \circ }\) (do \(DCEF\) là tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {ABC}(\) cùng bù \(\widehat {ADC})\)

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat {EFC} = \widehat {BAC}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {FEC} = \widehat {ABC}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó: \(\Delta CEF \sim \Delta CBA\) (g.g)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link