Cho biểu thức \({\rm{A}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \cdots +

Câu hỏi số 633612:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \({\rm{A}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{49.50}^ \circ }}}\). Chứng minh rằng \({\rm{A}} < 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633612

Phương pháp giải

Tách hạng tử và rút gọn.

Giải chi tiết

Ta có:\(A\; = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{49.50}}\)

\( = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{49.50}}\)

\(\; = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{49}} - \dfrac{1}{{50}}\)

\(\; = \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{49}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{50}}} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{49}} + \dfrac{1}{{50}}} \right) - 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{50}}} \right)\).

\(\; = \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{49}} + \dfrac{1}{{50}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{25}}} \right)\)

\(\; = \dfrac{1}{{26}} + \dfrac{1}{{27}} + \ldots + \dfrac{1}{{49}} + \dfrac{1}{{50}}\)

\(\; = \dfrac{{25}}{{26}} < 1\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link