Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1

Câu hỏi số 634078:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4,f\left( 0 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 9\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^1 {x{f^2}\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{1}{4}\).

B. 9.

C. \(\dfrac{1}{6}\).

D. \(\dfrac{{19}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634078

Phương pháp giải

\(\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx > 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 4 - 1 = 3\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} - 6\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx + } 9\int\limits_0^1 {dx = } \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 3} \right]}^2}dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 3} \right]}^2}dx} = 9 - 6.3 + 9 = 0\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3x + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = 3x + 1\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {x{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {x{{\left( {3x + 1} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^3} + 6{x^2} + x} \right)dx} = \dfrac{{19}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.