Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón

Câu hỏi số 635198:

Thông hiểu

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng a. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}a\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635198

Phương pháp giải

Giả sử hình nón đã cho có đỉnh là S, tâm của đáy là O và (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung AB.

Gọi H là trung điểm của đoạn AB và K là hình chiếu của O trên SH. Chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính OK.

Giải chi tiết

Giả sử hình nón đã cho có đỉnh là S, tâm của đáy là O và (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung AB.

Gọi H là trung điểm của đoạn AB và K là hình chiếu của O trên SH.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SO\\AB \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SOH) \Rightarrow AB \bot OK\).

Mà \(OK \bot SH \Rightarrow OK \bot (SAB)\) \( \Rightarrow d(O,(P)) = OK\).

Ta có OA = OB = AB = a nên tam giác OAB đều cạnh a \( \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOH ta có: \(OK = \dfrac{{OS.OH}}{{\sqrt {O{S^2} + O{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d(O,(P)) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.