a) Cho biểu thức \(A = \dfrac{2}{{1 + \sqrt {x + 4\sqrt x + 4} }} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 3}}

Câu hỏi số 635494:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(A = \dfrac{2}{{1 + \sqrt {x + 4\sqrt x + 4} }} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{18}}{{x - 9}}\left( {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\end{array}} \right)\)

Rút gọn biểu thức \(A\)

b) Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \({3^n} - 8\) là lập phương của một số tự nhiên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635494

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{2}{{1 + \sqrt {x + 4\sqrt x + 4} }} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{18}}{{x - 9}}\) với \( \left( {x \ge 0;x \ne 9} \right)\)

\(\; = \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{{(\sqrt x + 2)}^2}} }} + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{2}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{2\sqrt x - 6 + x + 3\sqrt x - 18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{x + 5x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\)

b) Giả sử \({3^n} - 8 = {a^3}\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\)

Suy ra \({3^n} = {a^3} + 8 = \left( {a + 2} \right)\left( {{a^2} - 2a + 4} \right)\) \( \left( 1 \right)\)

Vì \(a \in \mathbb{N}\) nên \(a + 2 > 1\).

Suy ra \(a = 3k\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow a = 3k - 2\)

Thay vào (1) ta được: \({3^n} = k\left( {9{k^2} - 18k + 12} \right) = 3k\left( {3{k^2} - 6k + 4} \right)\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k \vdots 3}\\{k = 1}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{k^2} - 6k + 4 \vdots 3\,\,({\rm{ktm)\;}}}\\{3{k^2} - 6k + 4 = 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}k \vdots 3\\k = 1\end{array} \right.\\3{k^2} - 6k + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 1} \right.\)

Suy ra \(a = 1\). Thay vào (1) ta được \(n = 2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link