Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A(AB < BC),M\) là trung điểm của \(AC,G\) là trọng tâm của tam giác

Câu hỏi số 635497:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A(AB < BC),M\) là trung điểm của \(AC,G\) là trọng tâm của tam giác \(ABM\)

a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(OG \bot BM\)

b) Lấy điểm \(N\) trên \(BC\) sao cho \(BN = BA\). Vẽ \(NK\) vuông góc với \(AB\) tại \({\rm{K}},BE\) vuông góc với \(AC\) tại E, \(KF\) vuông góc với \(BC\) tại F. Tính tỉ số \(\dfrac{{BE}}{{KF}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635497

Giải chi tiết

a) Gọi \({\rm{L}}\) là trung điểm của \(AB \cdot ML\) cắt \(AO\) tại \(J\)

Xét \(\Delta OLJ\) và \(\Delta BAI\) có: \(\angle OJL = \angle BIA = {90^0},\angle LOJ = \angle ABI = \dfrac{1}{2}sdAB\)

\( \Rightarrow \Delta OLJ \sim \Delta BAI\left( {g.g} \right)\)

Tam giác \(ABM\) có \(G\) là trọng tâm nên \(LG = \dfrac{1}{3}LM = \dfrac{2}{3}LJ\) (2)

Gọi \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(OA\).

Ta có \(P\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow AP = \dfrac{2}{3}AI\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \Delta OGJ \sim \Delta BPI \Rightarrow \angle PBI = \angle HBI = \angle GOJ = \angle HOI\)

\( \Rightarrow \angle HBI = \angle HOI \Rightarrow BHIO\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle BHO = \angle BIO = {90^0} \Rightarrow OG \bot BM\left( {dpcm} \right)\)

b) Ta có \(\Delta BEC\) vuông tại \(E \Rightarrow {\rm{sin}}C = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)

\({\rm{\Delta }}BKF\) vuông tại \(F \Rightarrow {\rm{sin}}FBK = \dfrac{{KF}}{{BK}}\)

Mà tam giác \(ABC\) cân tại A nên \(\angle C = \angle FBK\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{KF}}{{BK}} \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{KF}} = \dfrac{{BC}}{{BK}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Mặt khác \(\Delta BAN\) cân tại \({\rm{B}}\) vì \(BA = BN\left( {gt} \right)\),

có \(NK,AI\) là 2 đường cao ứng với hai cạnh bên nên \(NK = AI\)

Chứng minh được \({\rm{\Delta }}BKN = {\rm{\Delta }}BIA \Rightarrow BK = BI\)

Thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được \(\dfrac{{BE}}{{KF}} = \dfrac{{BC}}{{BI}} = 2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link