Cho tam giác nhọn \(ABC(AB < AC)\), có ba đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại H. Vẽ đường tròn

Câu hỏi số 635498:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC(AB < AC)\), có ba đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại H. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \({\rm{E}}\) cắt \(AD\) tại \({\rm{K}}\)

a) Chứng minh \(KA = KE\)

b) Vẽ tiếp tuyến \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right),M\) là tiếp điểm. Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDM. Chứng minh \(O,I,M\) thẳng hàng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635498

Giải chi tiết

a) Chứng minh được \(AEHF\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle AHE = \angle AFE\)

Mà \(\angle AFE = \angle ACB\) (cùng bù với \(\angle BFE\) )

\(\angle ACB = \angle HEK\) (cùng chắn cung \(BE\) )

\(\angle KHE = \angle HEK \Rightarrow {\rm{\Delta }}KHE\) cân tại \({\rm{K}} \Rightarrow KH = KH\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle KHE + \angle KAE = {{90}^0}}\\{\angle HEK + \angle KEA = {{90}^0}}\end{array} \Rightarrow \angle KAE = \angle KEA} \right.\)

Suy ra tam giác \(AKE\) cân tại \({\rm{K}}\) nên \(KA = KE\left( 2 \right)\)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(KA = KE\left( {dfcm} \right)\)

b) Dễ dàng chứng minh được

\(\Delta AHE \sim \Delta ACD \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AC.AE\left( 3 \right)\)

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta AMC\) có: \(EAM\) chung; \(\angle AME = \angle ACM\) (cùng chắn cung \(ME\) )

\( \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta AMC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AE \cdot AC = A{M^2}\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow AH \cdot AD = A{M^2} \Leftrightarrow \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AMD\) có: \(HAM\) chung, \(\dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AD}}\)

\( \Rightarrow \Delta AHM \sim \Delta AMD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle HDM = \angle AMH\)

Gọi \(Mx\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\) có : \(\angle HDM = \angle HMx\)

Từ (5) và (6) suy ra \(Mx \equiv MA \Rightarrow IM \bot AM\) mà \(OM \bot AM\left( {gt} \right)\)

Nên \(O,I,M\) thẳng hàng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link